Fibered Sumの構成における「同値関係」続き

昨日の続き。
昨日は、「生成」される同値関係なんて概念でお茶を濁したけれど、実はきちんと同値関係は確定する、というお話。
今回は完全に集合論の枠内に収まる...はず。
あるいは、僕が圏論だと思って喜んでいても、実は集合論の手の平の上で踊っているだけなのかも？
数学基礎論的なことは、良くわかりません。

f:id:junology:20120604203651p:image:w150

Diag.1

以下、常に上のDiag.1を参照することにする。
本稿の目標は、前回のややインチキ臭い同値関係をもう少し具体的な形に書きなおすこと。
具体的には、商 $q:X_1\amalg X_2\to X_1\amalg_A X_2$ による $X_1\amalg X_2$ 上の類別を集合として決定する。

準備

まずは記号の準備から。
$\cal{P}(A)$ を $A$ の冪集合とし、写像 $P,Q:\cal{P}(A)\to\cal{P}(A)$ を次で定める。
$P(B)=f_1^{-1}\left(f_1\left(B\right)\right)\, ,\quad Q(B)=f_2^{-1}\left(f_2\left(B\right)\right)$
これらに対して、集合論の基本的なことから、次の事実が成立することが容易に確かめられる。

FACT 1

$PP=P\, ,\quad QQ=Q$

$f_1\left(P(B)\right)=f_1(B)\, ,\quad f_2\left(Q(B)\right)=f_2(B)$

$B\subset P(B)\, ,\quad Q(B)\subset Q(B)$

$B'\subset B\Rightarrow P(B')\subset P(B)\, ,\quad Q(B')\subse Q(B)$

$\textstyle P\left(\bigcup_i B_i\right)=\bigcup_i P\left( B_i\right)$

$S=PQ,\, T=QP$ とおく。
$S,T$ の $n\in\mathbb{N}$ 個の合成をそれぞれ $S^n,T^n$ と書くことにし、また、 $S^0=T^0=\mathrm{identity}$ とする。
任意の $B\in\cal{P}(A)$ に対して、FACT 1より、集合列 $\left\{ S^n(B)\right\}_n ,\left\{ T^n(B)\right\}_n$ はともに単調増加でありかつ、
$S^{n+1}(B)=PT^n Q(B)\supset T^n(B)\, ,\quad T^{n+1}(B)=QS^n P(B)\supset S^n(B)$
であるから従って、
$R(B):=\bigcup_{n=0}^{\infty} S^n(B)=\bigcup_{n=0}^{\infty}T^n(B)$
とおくことができる。
特に、一点集合 $\left\{a\right\}$ について、 $R(a):=R\left(\left\{a\right\}\right)$ と書く。

実は、この全体 $\left\{ R(a)\right\}_a$ が、 $X_1\amalg X_2$ の上の類別を与えるのに重要な役割を果たす。

$R,S,T$ についてのいくつかの考察

一点集合 $\{a\}$ に対して $S,T$ を繰り返し適用した極限が $R(a)$ なのであるが、 $R(a)$ の元と $R(a)$ はどのような関係になっているのか、定義だけからでは、直ちにはわからない。
しかし、 $S,T$ は実は次のような良い性質を持っている。

ASSERTION 1
$n\in\mathbb{N}$ について
$a'\in S^n\left\{ a\right\}\,\Leftrightarrow\, a\in T^n\left\{ a'\right\}$

（証明）
$n$ についての数学的帰納法で示す。
$n=0$ の時は、仮定は $a=a'$ を意味するから明らか。
$n=1$ の時は、
$a'\in S\left\{ a\right\}=PQ\left\{ a\right\}=f_1^{-1}\left(f_1\left(Q\left\{ a\right\}\right)\right)$
$\Leftrightarrow f_1(a')\in f_1\left(Q\left\{a\right\}\right)$
$\Leftrightarrow P\left\{a'\right\}\cap Q\left\{a\right\}\neq\emptyset$
$\Leftrightarrow f_2\left(Q\left\{a\right\}\right)\cap f_2\left(P\left\{a'\right\}\right)\neq\emptyset$
$\Leftrightarrow f_2(a)\in f_2\left(P\left\{a'\right\}\right)$
$\Leftrightarrow a\in QP\left\{a'\right\}=T\left\{ a'\right\}$
として示される。

$n>1$ 以下の自然数について、ASSERTION 1が成立していたと仮定する。
$a'\in S^{n+1}\left\{a\right\}$ ならば、FACT 1-(5)より
$S^{n+1}\left\{ a\right\}=PQS^n\left\{a\right\}=\bigcup_{b\in S^n\{a\}} PQ\{b\}$
なので、ある $b\in S^n\{a\}$ があって、 $a'\in PQ\{b\}=S\{b\}$ とできる。
すると、 $n=1$ の場合及び帰納法の仮定より、 $b\in T\{a'\},\,a\in T^n\{b\}$ であり、
$a\in T^n\{b\}\subset T^n\left(T\{a'\}\right)=T^{n+1}\{a'\}$
として、ASSERTIONの $\Rightarrow$ が示せる。
同様にしてASSERTIONの $\Leftarrow$ も示せる。
（証明終）

$S,T$ を繰り返し適用して得られる集合列は、互いに包含しあいながら増加していき、共通の極限 $R$ が得られるのだった。
従って、ASSERTION 1から自然に次が導かれる。

ASSERTION 2

$\left\{R(a)\right\}_{a\in A}$ は $A$ の類別

$\left\{f_1\left(R(a)\right)\right\}_{a\in A}$ は $f_1(A)$ の類別

$\left\{f_2\left(R(a)\right)\right\}_{a\in A}$ は $f_2(A)$ の類別

（証明：(1)）
$b\in R(a)$ ならば $R(b)=R(a)$ であることを示せば良い。
$b\in R(a)$ とすると、 $R$ の定義より、十分大きな $n\in\mathbb{N}$ をとれば、 $b\in S^n\{a\}$ とでき、
$\forall k\in\mathbb{N}\,:\,S^k\{b\}\subset S^{k+n}\{a\}\subset R(a)$
∴ $R(b)\subset R(a)$
一方上の時、ASSERTION 1から、 $a\in T^n\{b\}$ であり、
$\forall k\in\mathbb{N}\,:\,T^k\{a\}\subset T^{k+n}\{b\}\subset R(b)$
∴ $R(a)\subset R(b)$
よって $R(a)=R(b)$ で、 $\left\{R(a)\right\}_{a\in A}$ は $A$ の類別である。
（証明：(2)）
$R(a)\cap R(a')=\emptyset$ ならば、
$f^{-1}\left(f_1\left(R(a)\right)\cap f_1\left(R(b)\right)\right)=PR(a)\cap PR(b)=R(a)\cap R(b)=\emptyset$
∴ $f_1\left(R(a)\right)\cap f_1\left(R(b)\right)\cap f_1(A)=\emptyset$
ところが、 $f_1\left(R(a)\right)\cap f_1\left(R(b)\right)\subset f_1(A)$ なので、
$f_1\left(R(a)\right)\cap f_1\left(R(b)\right)=\emptyset$
よって、 $\left\{f_1\left(R(a)\right)\right\}_{a\in A}$ は $f_1(A)$ の類別である。
（証明：(3)）
(2)の証明と同様。
（証明終）

前回の同値関係との関係

ASSERTION 2によって、 $f_1(A)\amalg f_2(A)$ の次の類別が得られる。
$\left\{f_1\left(R(a)\right)\amalg f_2\left(R(a)\right)\,\mid\,a\in A\right\}$
$f_1(A)\amalg f_2(A)$ の補集合上の一点集合全てを付加することで、上の類別を $X_1\amalg X_2$ の類別 $\left\{R_{\lambda}\right\}_{\lambda}$ へ拡張することができる。
実は、この類別から定まる同値関係と前回 $X_1\amalg X_2$ 上に定めた同値関係 $\approx$ は等しい。

この事実の証明のために、この類別 $\left\{R_{\lambda}\right\}_{\lambda}$ は次のような良い性質を持つことを示す。

ASSERTION 3
任意の右のような可換図式を考える。
この時、任意の $a\in A$ に対して
$i_1\circ f_1\left(R(a)\right)=\left\{i_1\circ f_1(a)\right\}$

（証明）
$n\in\mathbb{N}$ に対して、
$i_1\circ f_1\left(S^n\left\{a\right\}\right)$
$=i_1\circ f_1\left(PQS^{n-1}\{a\}\right)$
$=i_1\circ f_1\left(QS^{n-1}\{a\}\right)\qquad$ （∵FACT 1-(2)）
$=i_2\circ f_2\left(QS^{n-1}\{a\}\right)\qquad$ （∵図の可換性）
$=i_2\circ f_2\left(S^{n-1}\{a\}\right)\qquad$ （∵FACT 1-(2)）
$=i_1\circ f_1\left(S^{n-1}\{a\}\right)$
$\quad\vdots$
$=i_1\circ f_1\left(S^{0}\{a\}\right)=\left\{i_1\circ f_1(a)\right\}$
従って、
$i_1\circ f_1\left(R(a)\right)=\bigcup_{n=0}^{\infty}i_1\circ f_1\left(S^n\{a\}\right)=\left\{i_1\circ f_1(a)\right}$
（証明終）

ASSERTION 3の図式において、 $X$ はfibered sumでなくとも良い。
この図式で、 $i_1,i_2$ から誘導される写像 $i:X_1\amalg X_2\to X$ を考えると、ASSERTION 3より
$i$ は各類 $R_\lambda$ 上で定数であることがわかる。
従って、 $i$ が $X_1\amalg X_2$ の類別 $\left\{R_{\lambda}\right\}_{\lambda}$ による商空間から $X$ への写像を自然に誘導し、これは、fibered sumのuniversal propertyに他ならない。
特に、次が言える。

ASSERTION 4
$\approx$ を $f_1(a)\approx f_2(a)\;(a\in A)$ によって生成される $X_1\amalg X_2$ 上の同値関係、 $\left\{R_{\lambda}\right\}_{\lambda}$ を上で定めた類別とする。
この時、 $x,x'\in X_1\amalg X_2$ について $x\approx x'$ であるための必要十分条件は、 $x,x'$ がある共通の $R_{\lambda}$ に属すこと。

（証明：必要性）
任意の $a\in A$ について、 $f_1(a),f_2(a)\in f_1\left(R(a)\right)\amalg f_2\left(R(a)\right)$ であるから、 $\approx$ が $f_1(a)\approx f_2(a)$ で「生成されている」ということより、
$x\approx x'\Rightarrow \exists\lambda\,:\, x,x'\in R_{\lambda}$
である。
（証明：十分性）
$X:=X_1\amalg X_2/\approx$ 、 $q:X_1\amalg X_2\to X$ を自然な商写像で、 $i'_1:X_1\to X_1\amalg X_2,\,i'_2:X_2\to X_1\amalg X_2$ を包含写像とする。
$i_1=q\circ i'_1,\,i_2=q\circ i'_2$ としてASSERTION 3を適用すると、ASSERTION 3の直後の議論より、 $q$ は各 $R_{\lambda}$ 上定数である。
従って、
$\exists\lambda\,:\,x,x'\in R_{\lambda}\Rightarrow q(x)=q(x')\Rightarrow x\approx x'$
（証明終）