圏論から逃げない2. 集合論的な像と普遍性

前回は、「部分集合」の概念を一般の圏に拡張した。
今回と次回では、「像」の一般化を試みる。
今回は特に、集合論的に定義された「像」が、圏 $\mathbf{Set}$ においてどのような圏論的性質を持つのかを調べる。

$\mathbf{Set}$ での像と、その universal property

過去にこんな記事を書いていた。
ここでの命題を少し整形すると、同様の証明で次の命題が示せる。

命題 1
$\varphi:S\to T$ を写像とし、写像 $\psi:U\to T$ は次の条件を満たすとする：

$\forall V\in\mathbf{Set}\,\forall \alpha,\beta\ :\ T\to V\,:\,\alpha\varphi=\beta\varphi\ \Rightarrow\ \alpha\psi=\beta\psi$

この時、写像 $\psi':U\to\varphi(S)$ が唯一つ存在し、 $\psi=i\psi'$ とできる。
ただし、 $i\ :\ \varphi(S)\subset T$ は包含写像である。

この命題 1は、写像の「像」が、圏 $\mathbf{Set}$ での universal property で特徴付けられることを示唆している。
そこで、もう少し命題 1を詳しく見てみる。

まず、 $\psi\ :\ U\to T$ が条件式 $\forall \alpha,\beta\ :\ T\to V\,:\,\alpha\varphi=\beta\varphi\ \Rightarrow\ \alpha\psi=\beta\psi$ を満たすとは、どういうことか。
$\alpha\varphi=\beta\varphi$ となるような写像 $T\to V$ の組は、次の集合の元として書ける：

$\mathbf{Set}(T,V)\times_{\mathbf{Set}(S,V)}\mathbf{Set}(T,V)$

ただし、 $\mathbf{Set}(T,V)\to\mathbf{Set}(S,V)$ はどちらも $\varphi^{\ast}\ :\ \mathbf{Set}(T,V)\to\mathbf{Set}(S,V)$ である。
特に、colimit の定義を考えることで、これは次の集合 $\mathbf{Set}(T\amalg_S T,V)$ と同一視できる。
すると、 $\alpha\psi\ :\ U\to V$ は、合成

$\mathbf{Set}(T\amalg_S T,V)\overset{\mathrm{inj}_1^{\ast}}{\to}\mathbf{Set}(T,V)\overset{\psi^{\ast}}{\to}\mathbf{Set}(U,V)$

による $(\alpha,\beta)$ の像であり、同様に $\beta\psi\ :\ U\to V$ は

$\mathbf{Set}(T\amalg_S T,V)\overset{\mathrm{inj}_2^{\ast}}{\to}\mathbf{Set}(T,V)\overset{\psi^{\ast}}{\to}\mathbf{Set}(U,V)$

による $(\alpha,\beta)$ の像である。
命題 1は、これらが一致する時、 $\psi':U\to\varphi(S)$ が唯一存在して $\psi=i\psi'$ と分解することを主張している。
米田の補題より、米田埋め込み $h^{\bullet}\ :\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to[\mathcal{C},\mathbf{Set}]$ が fully faithful であることに注意すると、以上の議論より、次がわかる。

系 2
自然な入射 $j\ :\ \varphi(S)\to T$ は、圏 $\mathbf{Set}$ においての次の同型を誘導する：

$\mathrm{eq}\left(T\overset{\to}{\to}T\amalg_S T\right)\simeq \varphi(S)$

勿論系 2は、直接示すことができる。
また、上での議論からわかるように、系 2は命題 1と同じことを言っている。
しかし、集合論的な定義の「気持ち」を大事にしたかったので、上のような順序にした。

$\mathcal{Set}$ での像の双対と、その universal property

さて、通常の写像の像については前節の通りであるが、集合論的には、もう一つ「像」と呼べるものがある。
$\varphi\ :\ S\to T$ について、 $S$ を「 $\varphi$ による値が同じ」ことによる同値関係で割った商集合を $S_{\varphi}$ と書くことにする。
自然な全射を $q:S\to S_{\varphi}$ とし、 $\tilde{\varphi}:S_{\varphi}\to T$ を $\varphi$ が誘導する写像とすると、 $\varphi$ は次のように分解する：

$S\overset{q}{\to}S_{\varphi}\overset{\tilde{\varphi}}{\to}T$

この分解に関して、命題 1の双対が成立する。

命題 3
$\varphi:S\to T$ を写像とし、写像 $\psi:S\to U$ は次の条件を満たすとする：

$\forall V\in\mathbf{Set}\,\forall \alpha,\beta\ :\ V\to S\,:\,\varphi\alpha=\varphi\beta\ \Rightarrow\ \psi\alpha=\psi\beta$

この時、写像 $\tilde{\psi}:S_{\varphi}\to U$ が唯一つ存在し、 $\psi=\tilde{\psi}q$ とできる。
ただし、 $q\ :\ S\to S_{\varphi}$ は自然な全射である。

（証明）
$V=\{\mathrm{pt}\}$ とおくことで、自然な同一視 $S\simeq\mathbf{Set}(\{\mathrm{pt}\},S)$ がある。
この時の $\psi$ に関する条件より、次が成立する：

$\forall s,t\in S\ :\ \varphi(s)=\varphi(t)\ \Rightarrow\ \psi(s)=\psi(t)$

従って $S_{\varphi}$ の商集合としての定義より、 $\tilde{\psi}\ :\ S_{\varphi}\to U$ が唯一つ誘導され、 $\psi=\tilde{\psi}q$ とできる。
（証明終わり）

「部分集合」と「特性関数」が互いに双対であるという考え方からすると、上の証明は、命題 1の証明の双対になっている。
命題 1の場合と同様な考察によって、 $S_{\varphi}$ の圏論的な記述が求まる。

系 4
自然な全射 $q\ :\ S\to S_{\varphi}$ は、圏 $\mathbf{Set}$ において次の同型を誘導する：

$\mathrm{coeq}\left(S\times_T S \overset{\to}{\to} S\right) \simeq S_{\varphi}$