をそれぞれ整数、有理数及び実数の全体とする。 次の空間を考える。また加法群のへの作用をで定める。 この時、とおくと、自然な射影は被覆写像である。 これは、この写像が なる被覆写像に拡張できることから従う。さて、, はともに連結空間で、かつ基本群…

おなかがすいて何も考えられなくなったのでメモを残しとこう - junologyの日記で提示した命題の証明をする。 命題を再掲する（やや改変）。 命題1 は、原点中心、半径の次元球の内部に含まれるとする。 この時 は、次元球面と同相である。 今回は特別な場合…

数学科の講義で集合の濃度の話をやると、が可算濃度ですよっていうのは必ずやる。 また、位相を習う時に、の中でのの稠密性もやる。 従って、が可分というのは、数学科の人間なら誰でも知っていることなのだけれど、このことは、色々な反例を構成するのに、…

凸包についてまとめてみたくなった。実線形空間の部分集合が凸であるとは、任意のと任意の実数に対して、であることだった。 さて、が凸でなくても、を含むの凸集合というものを考えることができる。 今回問題にするのは、そのような凸集合の中でも最小のも…

以前提示した問題が、肯定的に解けたと思う。 その証明を記事にする前に、「凸集合からの距離」関するいくつかの事実をまとめておく。次の記号を用いる。 を上の通常の（-）距離とし、に対して、 の定義の左辺に現れる集合は、自明な下界を持つので、下限は…

記号の用意 に対して、はの第成分。 はの通常の距離 について、 命題 は、原点中心の次元単位球の内部に含まれるとする。 この時 は、次元球面と同相である。 証明の方針 のかわりにの閉包をとることで、はコンパクトとして良い の境界がであることを示す 内…

Fibered Sumの構成における「同値関係」 - junologyの日記 Fibered Sumの構成における「同値関係」続き - junologyの日記 Fibered SumとCocartesian Squareと単射、全射 - junologyの日記 Cocartesian Square 補遺 - junologyの日記 と、圏におけるファイバ…

幾何学をやる時に、大抵Hausdorffが仮定されている。 それは、Hausdorff空間が良い性質を多く持っているからで、また、僕達が想像する空間のほとんどは、Hausdorffだから、仮定として強すぎないからだと思う。 多様体の定義にもHausdorffの仮定が入っており…

「こひーれんとトポロジー」で悩んでたところを思いついたので、忘れないようにメモ 連続写像の族に対して、にから位相を誘導して、自然な射影のへの制限をとすると、がのequalizer。実際、をで定義すれば、の定義によりこれはwell-definedで（本当はこのはe…

前回、位相がcoherentであることの定義をしたが、に値を持つ連続関数の2つの族,に対して、の位相が同時に、あるいはどちらか一方のみとcoherentである場合というのがある。 例えば、を、にquotient mapを右から合成したものに置きかえたものをとすると、とco…

CW complexとかsimlicial complexのpolytopeへの位相の入れ方って、特殊だと思う。 各cellには既に位相が入っているから、各cell上でopenなら、complex でopenということにするのだと。 逆に、与えられた位相空間に対してcell分割を与えるためには、その分割…

次の命題が、一瞬証明できなかったのでメモ。 命題 は連続で、はHausdorffとする。 この時、次は閉 （証明） 任意のを取る。 はHausdorffでなので、それぞれの近傍で、互いに素なものが存在する。 この時、 はの近傍で、また、その定義より、 従って、。 以…

今セミナーやっていて度々記事に出てくる[St]*1に、またしても未知なる面白いことが書いてあったので、メモ。以下ではを単位区間とし、にはの通常の位相による直積位相を入れるものとする。 各は通常の距離によって距離空間だと思え、従って、は距離化可能空…

あけましておめでとうございます。 本年も僕の戯言にお目溢し下さい。新年早々、[Mil]*1の§6 Lemma 2の証明を補完してみるという、完全に自分のためだけの企画。を多様体とする時、2つの写像が、滑らかにホモトピックであるとは、写像があって、次を満すこと…

を位相空間として、を直積空間の開被覆とした時、の開被覆があって、がの細分被覆になっているようにできるか？という問題。 がコンパクトだったらできると Steenrod*1 に書いてあって、わからなくて慌てたのでメモ。 すっかり忘れてたけど、これってTychono…

Hausdorffって割と気軽に仮定されるけれども、一点と一点が分離できるというだけでは、もの足りない。 どうもの足りないかというと、例えば、一点と閉集合が分離できない。 つまり、がの閉集合で、だった時に、の近傍でとかいうものを取れないことがある（必…