小学校の時、欠席者がいると、給食の剰余の離散量品目（パン、牛乳、ゼリーなど）はじゃんけんによって分配されていたことを思い出した。 そこで、食堂でテレビを見ながら思ったのだが、じゃんけんによって「たった一人」を決めるのに、2人ずつ組になってト…

おなかがすいて何も考えられなくなったのでメモを残しとこう - junologyの日記で提示した命題の証明をする。 命題を再掲する（やや改変）。 命題1 は、原点中心、半径の次元球の内部に含まれるとする。 この時 は、次元球面と同相である。 今回は特別な場合…

数学科の講義で集合の濃度の話をやると、が可算濃度ですよっていうのは必ずやる。 また、位相を習う時に、の中でのの稠密性もやる。 従って、が可分というのは、数学科の人間なら誰でも知っていることなのだけれど、このことは、色々な反例を構成するのに、…

凸包についてまとめてみたくなった。実線形空間の部分集合が凸であるとは、任意のと任意の実数に対して、であることだった。 さて、が凸でなくても、を含むの凸集合というものを考えることができる。 今回問題にするのは、そのような凸集合の中でも最小のも…

以前提示した問題が、肯定的に解けたと思う。 その証明を記事にする前に、「凸集合からの距離」関するいくつかの事実をまとめておく。次の記号を用いる。 を上の通常の（-）距離とし、に対して、 の定義の左辺に現れる集合は、自明な下界を持つので、下限は…

Zariski位相って、閉集合を先に決めるから、「位相空間」だと思った時に、慣れないとどうにも勝手が違って困る。 で、実はZariski位相にも開基がとれるんだけど、[God] *1では、普通の取り方と違う開基の取り方をしてたので、本当に同値なのかな、って思った…

記号の用意 に対して、はの第成分。 はの通常の距離 について、 命題 は、原点中心の次元単位球の内部に含まれるとする。 この時 は、次元球面と同相である。 証明の方針 のかわりにの閉包をとることで、はコンパクトとして良い の境界がであることを示す 内…

微分したくない。 ひたすらに微分したくない。 微分しないためならば、1,000円/月払ったって良い。 微分をこの世から滅ぼすための基金があったら、30,000円くらい寄付しても良い。 でも、そうはいかない。 何故か。院試に問題が出るから。Landauの記号を用い…

直接問題になった訳ではないけれど、教科書を読んでいてつまずいたところを解決するに際して生じた疑問をメモ。解決には Yahoo!知恵袋 が役にたちました。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1191101101 回答者の方、ありがとうござ…

院試の願書と一緒に提出する資料として、2つの大学宛に書かなければいけないのだけれど、全然サッパリ何を書けば良いのかわからない。 僕はトポロジー志望で、特に代数的、圏論的な方に興味がある...ってことで、「代数トポロジー」って書けば良いのですかね…

最近知った... というのは嘘だけれど、自分でちゃんと証明してみて、これ、以外と非自明だなぁ、とあらためて実感した。 いや、球じゃなくて、回転楕円体だよ、とかそういうことでなくね。 地球一周できたよ、じゃあ、地球は球だね、なんていうお気楽なモン…

散々cocartesian squareについて議論してきたけれど、層の逆像を定義する時に、ついにファイバー積が必要になった。 そこで、cartesian squareについて色々勉強したのだけれど、とかでのcartesian squareには、cocaretesian squareと共通する性質が色々ある…

Fibered Sumの構成における「同値関係」 - junologyの日記 Fibered Sumの構成における「同値関係」続き - junologyの日記 Fibered SumとCocartesian Squareと単射、全射 - junologyの日記 Cocartesian Square 補遺 - junologyの日記 と、圏におけるファイバ…

fibered sumって、日本語でファイバー和と直訳するそうな。 知らなかった。 じゃあ、cocartesian squreは余デカルト方図式とでも訳すのかな？cocartesian squareの性質については、Fibered SumとCocartesian Squareと単射、全射 - junologyの日記で大体示し…

前回、前層（presheaf）の定義をしたけれど、あれは反変関手ならなんでもござれで、あまりにも一般的すぎる。 特に、の位相の意味に一切触れていない。 そこで、位相空間の性質について自然になるように、もう少し条件をつけたのが層である。 層の定義 前回…

前々回で、にはファイバー和が存在するという事実を紹介し、前回はそれを具体的に構成した。 具体的に構成したことによって、僕が今まで納得できなかった命題がちゃんと証明できるようになったので、それを紹介する。上に前回定義した作用素を今回も用いる。…

昨日の続き。 昨日は、「生成」される同値関係なんて概念でお茶を濁したけれど、実はきちんと同値関係は確定する、というお話。 今回は完全に集合論の枠内に収まる...はず。 あるいは、僕が圏論だと思って喜んでいても、実は集合論の手の平の上で踊っている…

代数トポロジーをやってると、adjunction spaceとかmapping torusなんてものにおめにかかるけれど、実はこれらはともに、圏論の概念であるところのfibered sumの特別な場合であるといえる。僕が過去に読んだ[Mac]*1とか[Str]*2 とかには、圏ではfibered sum…

幾何学をやる時に、大抵Hausdorffが仮定されている。 それは、Hausdorff空間が良い性質を多く持っているからで、また、僕達が想像する空間のほとんどは、Hausdorffだから、仮定として強すぎないからだと思う。 多様体の定義にもHausdorffの仮定が入っており…

今、仏語で[God]*1を読んでいるのだけれど、意外と行間が多い。 なので、後半Theorie des Faiceauxの部分、行間を埋めてまとめてみる。圏論の用語は前提にして、あと次の圏の基本的な性質も既知として書く。 , , , , , 帰納極限についてはこちらも参照。 前…

まずは何も言わずに次の文章を読んで下さい。 A「ちょっと席を外したと思ったら、カップラーメンが空になってますが、食べたのはあなたですね、先輩！」 B「何故だ。例えば、Xあたりも食べようと思えば食べられただろう？（もぐもぐ）」 A「いや、Xは極度の…

圏論においては、帰納極限（等の普遍性を要求するオブジェクト）は存在性が大事なんであって、その性質を見るのに、そのオブジェクトの構成方法が露骨に現れるのは良くないと思うんだ。 そんなことばかり考えていた結果、昨日に続き馬鹿なことを考えたのでメ…

集中講義行き損ねた。 かといって、勉強が進んだ訳ではないという。昨日次のアイデアを思いついた。 命題 をの写像の族とする。 の部分集合について、であるための必要十分条件は、包含写像と任意の写像に対し、次が成立すること。 （証明：必要性） を仮定…

有向集合は小圏とみなせる 帰納極限は有向集合からの関手に対して定義される 有向集合からの関手全体は、natural transformationを射として圏をなすか？→Homが集合になるかが問題 もし圏をなすならば、帰納極限とは、その圏からの関手で、普遍性を満すものの…

「こひーれんとトポロジー」で悩んでたところを思いついたので、忘れないようにメモ 連続写像の族に対して、にから位相を誘導して、自然な射影のへの制限をとすると、がのequalizer。実際、をで定義すれば、の定義によりこれはwell-definedで（本当はこのはe…

このGW中、スーパーで 店員「買い物袋お持ちですか？」 僕「はい」 と飲食店で 僕「焼きそば大盛り」 店員「少々お待ち下さい」 （食べ終わり） 僕「会計お願いします」 店員「◯◯◯円になります」 僕（無言で代金を差出す） 店員「◯◯◯円のお返しです。ありが…

先日Lie群の講義で、Lie群の単位元における接空間の成すLie代数と滑らかな左不変ベクトル場が1-1対応しているということがすぐにわからずに、質問してしまった。 何が非自明に感じたかというと、Lie群の単位元と、さらに上の左移動について、次で定めるベク…

前回、位相がcoherentであることの定義をしたが、に値を持つ連続関数の2つの族,に対して、の位相が同時に、あるいはどちらか一方のみとcoherentである場合というのがある。 例えば、を、にquotient mapを右から合成したものに置きかえたものをとすると、とco…

CW complexとかsimlicial complexのpolytopeへの位相の入れ方って、特殊だと思う。 各cellには既に位相が入っているから、各cell上でopenなら、complex でopenということにするのだと。 逆に、与えられた位相空間に対してcell分割を与えるためには、その分割…

モナドの合成をマジメに勉強しようと思って次のページ All About Monads に行って、第III部の頭で面食らった人は僕だけではないはず... Continuationモナドは使わない方が良いって書いてあったのに。 そして、僕はContinuationモナドは知らないんだ。 なので…