Godement 層の理論ノート0 前層

今、仏語で[God]*1を読んでいるのだけれど、意外と行間が多い。
なので、後半Theorie des Faiceauxの部分、行間を埋めてまとめてみる。

圏論の用語は前提にして、あと次の圏の基本的な性質も既知として書く。
$\b{Sets}$ , $\b{Sets}_{\ast}$ , $\b{Top}$ , $\b{Ring}$ , $\b{Mod}_A$ , $_A\b{Mod}$
帰納極限についてはこちらも参照。

前層

以下、 $X$ を位相空間とし、 $\cal{O}(X)$ で $X$ の開集合全体をオブジェクト、包含関係を射とする圏を表すことにする（構造層ではない）。

定義
$\cal{C}$ を任意の圏とする。
関手 $F:\cal{O}^{\it{op}}(X)\to\cal{C}$ 、すなわち $\cal{O}(X)$ から $\cal{C}$ への反変関手のことを、 $X$ 上 $\cal{C}$ 値の前層(presheaf)という。
特に $\cal{C}=\b{Sets}$ の時が重要で、 $X$ 上 $\b{Set}$ 値の前層全体とそれらの間のnatural transformationの成す圏を $\b{Presh}(X)$ と書く。

上で、圏 $\cal{C}$ に対して $\cal{C}^{\it{op}}$ はopposite categoryと呼ばれ、オブジェクトは同じだけれど、射が反対向き、つまり、
$\rm{Hom}_{\cal{C}^{\it{op}}}(A,B)=\rm{Hom}_{\cal{C}}(B,A)$
であるような圏である。
これによって、反変関手 $F:\cal{C}\to\cal{D}$ は共変関手 $F':\cal{C}^{\it{op}}\to\cal{D}$ と同一視できる。

また、 $\b{Presh}(X)$ は圏と何の断りなくいっているが、実はこれは非自明で、すなわち、 $X$ 上 $\b{Sets}$ 値前層 $F,G$ に対して、natural transformation $F\to G$ の全体が集合になるかは確認しなければならない。
しかし、一般に小圏 $\cal{C}$ から一般の圏 $\cal{D}$ への2つの関手 $F,G$ の間のnatural transformation全体は
$\prod_{A\in\cal{C}}Hom_{\cal{D}}(F(A),G(A))$
の部分集合だと思うことができて、よって集合とみなせる。
このことから、 $\b{Presh}(X)$ は圏になるのである。

$F$ を $X$ 上 $\cal{C}$ 値の前層とする。
開集合の包含 $V\subset U$ について、 $F(U)\to F(V)$ は唯一なので、それを $F^U_V$ と書く。
$x\in X$ を空間上の点とし、 $\cal{O}(X,x)$ で $x$ を含む $X$ の開集合全体とそれらの包含関係のなす圏とする。
$\cal{O}(X,x)$ は $\cal{O}(X)$ の部分圏で、得に $\cal{O}^{op}(X,x)$ は有向集合である。
もし $\cal{C}$ に帰納極限が存在するのなら、次が定義できる。

定義
$x\in X$ に対して、
$F(x):=\rm{lim ind}_{\cal{O}(X,x)} F$
を $F$ の $x$ における茎（stalk）という。

特に冒頭に挙げた圏には全て帰納極限が存在することに注意。
各 $U\in\cal{O}(X,x)$ について $F(U)$ から茎 $F(x)$ への入射を $F^U_x:F(U)\to F(x)$ と書く。

前層の例

順序集合 $A$ は、順序関係 $\le$ を射として圏と思えることに注意する。
例えば、自然数 $\bb{N}$ （0含む）, 有理数 $\bb{Q}$ , 実数 $\bb{R}$ や、それらに無限遠点を付加した、 $\bb{N}_{\infty}$ , $\bb{Q}_{\infty}$ , $\bb{R}_{\infty}$ などがそのような圏である。

元の個数: $U\in\cal{O}(X)$ に $U$ の元の個数を対応させる関手 $F:\cal{O}(X)\to\bb{N}_{\infty}^{\it{op}}$ は前層になる。
被覆の重複: $\cal{S}$ を $X$ の任意の被覆とする。 $U\in\cal{O}(X)$ に対して、
$F(U)=\sharp\left\{S\in\cal{S}\,\mid\, U\subset S\right\},\quad G(U)=\sharp\left\{S\in\cal{S}\,\mid\, U\cap S\neq\emptyset\right\}$
とおくと、 $F:\cal{O}(X)\to\bb{N}_{\infty}$ と $G:\cal{O}(X)\to\bb{N}_{\infty}^{\it op}$ はともに前層である。各 $U\in\cal{O}(X)$ について $U\neq\emptyset$ ならば $F(U)\le G(U)$ である。 $F$ の各点での茎が0でないことと $\cal{S}$ の元の内部全体が $X$ を被覆することが同値、さらに、 $G$ の各点での茎が有限であることと $\cal{S}$ が有限被覆であることが同値である
連続関数の層: $X,Y$ を位相空間とする。 $U,V\in\cal{O}(X)$ に対し、
$F(U)=\{f:U\to Y:conti\},\quad F^U_V:F(U)\ni f\mapsto f|_V\in F(V)$
とすると、 $F:\cal{O}(X)\to\b{Sets}$ は前層。特に、 $Y$ が離散空間の場合には、 $F$ をconstant sheafという。
affine scheme: まだ理解できてないから略