環構造復習1：巡回群上の環構造

巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ に、 $\mathbb{Z}$ から誘導された自然な環構造が入ることは、環論を勉強し始めて、最初に学ぶこと。
ここで、アーベル群 $A$ 上の環構造というのは、写像

$\mu:A\times A\to A$

で、分配則と結合則を満たすものである（加えて単位元 $1$ の存在を含める場合もある）。

今回は、特に $A$ が巡回群であった場合に、上のような $\mu$ がどれだけ存在するのかを調べる。
加法の構造は、 $A$ に始めから備わっているものと考えて、本記事では、環とは、組 $(A,\mu)$ のこととする。
$\mu$ を $A$ 上の積と呼ぶ。
また、 $A$ 上のアーベル群の演算は $+$ で書くことにする。

前半で、単位元を仮定しない環構造について調べ、最後に、巡回群上では、単位元を持つ環構造は、ただ一つ（ $\mathbb{Z}$ から誘導される自然なもの）しかないことを示す。

環構造の再定義 -分配則再考-

最初に、分配則をおさらいする。
$\mu:A\times A\to A$ が分配則を満たすとは、次の2式

$\mu(a+b,c)=\mu(a,c)+\mu(b,c)$
$\mu(a,b+c)=\mu(a,b)+\mu(a,c)$

を満たすことである。
今、 $A$ はアーベル群であり、 $a\in A$ と $n\in\mathbb{Z}$ に対して

$na = \begin{cases}\overbrace{a+\dots +a}^{n} & \text{if n\ge 1}\\ 0 & \text{if n=0} \\ \overbrace{-a-\dots -a}^{-n} & \text{if n \le -1}\end{cases}$

と書くことにすると、上式より、さらに

$\mu(na,b) = n\mu(a,b)$
$\mu(a,nb) = n\mu(a,b)$

を満たすこともわかる。

環論を経て、加群の理論に慣れた人なら、上2式を見て、すぐにテンソル積を連想するはず。
すなわち、分配則を満たす積 $\mu:A\times A\to A$ とは、実はアーベル群の準同型

$\mu:A\otimes A\to A$

に他ならない。
ただし、本記事では、 $\otimes = \otimes_{\mathbb{Z}}$ である。
こう思った時、 $\mu$ の結合則は、次の四角形が可換であるということと同値になる。

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diagram 1

以上をまとめると、「環構造」は正確には次のように定義できる。

定義
アーベル群 $A$ 上の環構造とは、アーベル群の準同型 $\mu:A\otimes A\to A$ であって、diagram 1 を可換にするものである。

この定義のもと、以下で具体的に巡回群上の環構造を決定する。

無限巡回群の環構造

$\mathbb{Z}$ と書くと紛らわしいので、環構造を仮定しない、ただの無限巡回群を $C_{\infty}$ と書き、 $\mathbb{Z}$ には自然な環構造を入れて、環であるとする。
また、 $C_{\infty}$ の生成元 $a\in C_{\infty}$ を固定する。

前節の定義から、無限巡回群 $C_{\infty}$ 上の環構造は容易に決定できる。
まず、準同型 $C_{\infty}\otimes C_{\infty}\to C_{\infty}$ はどれだけあるか。
アーベル群の圏における随伴(adjoint) $\mathrm{Hom}(X\otimes Y,Z)\simeq\mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(Y,Z))$ に注意すると、次の同型がわかる。

$\mathrm{Hom}(C_{\infty}\otimes C_{\infty},C_{\infty}) \simeq \mathrm{Hom}(C_{\infty},\mathrm{End}(C_{\infty}))\simeq \mathrm{End}(C_{\infty})\simeq\mathbb{Z}$

ここで、一番右の同型は $\mathrm{End}(C_{\infty})$ の合成による自然な環構造についての、環としての同型である。
この同型で、 $n\in\mathbb{Z}$ に対応する準同型を $\mu_n:C_{\infty}\otimes C_{\infty}\to C_{\infty}$ とすると、 $\mu_n$ は次で与えられることは容易に確認できる。

$\mu_n(pa\otimes qa) = (npq)a$ for $p,q\in\mathbb{Z}$

また、各 $n\in\mathbb{Z}$ に対して、任意の $p,q,r\in\mathbb{Z}$ で

$\mu_n(pa\otimes\mu_n(qa\otimes ra)) = \mu_n(pa\otimes(nqr)a = (n^2pqr)a$
$\mu_n(\mu_n(pa\otimes qa)\otimes ra) = \mu_n((npq)a\otimes ra) = (n^2pqr)a$

となり、この両者は等しい、すなわち、次の四角形は可換である。

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diagram 2

よって、全ての $n\in\mathbb{Z}$ について、 $\mu_n)$ は $C_{\infty}$ 上の環構造である。

以上から、の議論をまとめることで、次の命題を得る。

命題 1
無限巡回群 $C_{\infty}$ 上の環構造全体は、次の集合と一致する。
$\left\{\mu_n\,\mid\,n\in\mathbb{Z}\right\}$

さて、環 $(C_{\infty},\mu_n)$ とは何か。
実は次の同型が成立する。

命題 2
次の環の同型がある。
$(C_{\infty},\mu_n)\simeq n\mathbb{Z}$
ただし、 $n\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の部分環である。

（証明）
環同型写像は $\varphi_n:\mathbb{Z}\ni p\to np\in n\mathbb{Z}$ で与えられる。
まず、これがアーベル群の準同型であることが直ちにわかり、

$\varphi_n(p)\varphi_n(q) = n^2pq = \varphi(\mu_n(p,q) )$

なので、積も保つ。
よって、 $\varphi_n$ は環準同型だが、明らかに全単射でもあるので、環の同型であることがわかる。

結局、加法が無限巡回群になる環は、環 $\mathbb{Z}$ のイデアルが全てであるということがわかった。

有限巡回群の環構造

位数 $k$ の有限巡回群 $C_k$ 上の環構造も、 $C_{\infty}$ での議論とほぼ平行に進む。
ただし、平行の議論にするために、少し議論を要する。
まず、 $C_{\infty}$ の生成元 $a\in C_{\infty}$ に対し、 $a\mapsto ka$ で定義される準同型 $C_{\infty}\to C_{\infty}$ を $\overset{k}{\to}$ と書いてしまうことにすると、次の完全列ができる。

$0\to C_{\infty}\overset{k}{\to}C_{\infty}\to C_k \to 0$

この完全列を用いて、次が証明できる。

補題 3
$M$ はアーベル群であり、各元 $m\in M$ の位数は $k$ の約数であるとする（従って $km=0$ ）。
この時、自然な全射 $C_{\infty}\to C_k$ は、次のアーベル群の同型を誘導する：
$\mathrm{Hom}(C_k,M)\simeq \mathrm{Hom}(C_{\infty},M)\simeq M$

（証明）
右側の同型は明らかなので、左側の同型を示す。
$\mathrm{Hom}$ の左完全性より、次は完全列である：

$0\to\mathrm{Hom}(C_k,M)\to\mathrm{Hom}(C_{\infty},M)\overset{k}{\to}\mathrm{Hom}(\mathrm{C_{\infty},M)$

ここで、 $M$ に関する仮定より、準同型 $\mathrm{Hom}(C_{\infty},M)\overset{k}{\to}\mathrm{Hom}(\mathrm{C_{\infty},M)$ は $0$ である。
このことと上の完全列より、次は完全列：

$0\to\mathrm{Hom}(C_k,M)\to\mathrm{Hom}(C_{\infty},M)\to0$

これより、求める同型を得る。
（証明終わり）

系 4

$\mathrm{End}(C_k)\simeq C_k$ as abelian groups.

$\mathrm{Hom}(C_k,\mathrm{End}(C_k))\simeq \mathrm{Hom}(C_{\infty},\mathrm{End}(C_k))\simeq\mathrm{End}(C_k)$

これがわかれば、後の議論は $C_{\infty}$ の場合と完全に平行に進む。
系 4 より、次の同型が得られる。

$\mathrm{Hom}(C_k\otimes C_k,C_k)\simeq \mathrm{End}(C_k)\simeq \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$

ここで、右側の同型は環の同型である。
この同型において、 $n\in\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ に対応する $\mathrm{Hom}(C_k\otimes C_k,C_k)$ の元を $\tilde\mu_n$ とおくと、各 $\tilde\mu_n$ が $C_{\infty}$ の場合の $\mu_n$ と同様に、結合則を満たすことが確認できる。
従って、次の結果を得る。

命題 5
有限巡回群 $C_k$ の環構造全体は、次の集合と一致する。
$\left\{\tilde\mu_n\,\mid\,n\in\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\right\}$

単位元を持つ環構造

上で求めたものの中から、単位元を持つ環構造を探す。
まず、位数とは関係の無い議論から入る。
$C$ を一般に $a\in C$ で生成される巡回群とする。
随伴同型によって $\mathrm{Hom}(C\otimes C,C)\simeq\mathrm{Hom}(C,\mathrm{End}(C))$ であり、この同型をきちんと記述すると、 $\mu:C\otimes C\to C$ に対応する $\varphi_{\mu}:C\to\mathrm{End}(C)$ は次のように書ける：

$\varphi_{\mu}(x)(y)=\mu(x,y)$

さて、これより $e\in C$ が単位元であるための条件を求める。
前節までで求めた環構造は、全て可換なものなので、左単位元の条件を求めれば良い。
$e\in C$ が左単位元であるとは、任意の $x\in C$ に対して $\mu(e,x)=x$ であることである。
すなわち、 $\varphi_{\mu}(e)=\mathrm{id}$ であり、このような $e\in C$ が存在するためには、 $\varphi_{\mu}$ の像が $\mathrm{id}$ を含んでいなければならない。
$C$ は巡回群なので、 $\mathrm{End}(C)$ も $\mathrm{id}$ で生成される巡回群であることに注意すると、 $C$ 上の環構造 $\mu$ が左単位元を持つための必要十分条件は、 $\varphi_{\mu}$ が全射であることである。

$C=C_{\infty}$ の場合

この場合は、 $\varphi_{\mu}$ が全射になるような $\mu$ は $\mu=\mu_1,\mu_{-1}$ のいずれかに限られる。
これらは、 $C_{\infty}$ 上では異なる環構造を与えているが、生成元を $-a$ に取り替えることで、環として $(C_{\infty},\mu_1)\simeq (C_{\infty},\mu_{-1})$ であることはすぐにわかる。
よって、加法群として無限巡回群になるような環は $\mathbb{Z}$ のみである。

$C=C_k$ の場合

この場合は、 $\varphi_{\mu}$ が全射になるような $\mu$ は、 $k$ と互いに素な整数 $0\le m < k$ について $\mu=\mu_m$ である。
これもやはり $\mu_1,\mu_m$ は $C_k$ 上の異なる環構造を与えているのだが、無限巡回群の場合と同様に、生成元を $ma$ と取り替えることで、環として $(C_k,\mu_1)\simeq (C_k,\mu_m)$ である。
すなわち、加法群として位数 $k$ の巡回群になるような環は $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ のみである。