圏論から逃げない1. 部分, 商

今まで漠然と知っていた、圏論における集合論のアナロジーをまとめる。
以下、 $\mathcal{C}$ を一般の圏とする。

部分集合と商集合

部分集合や商集合のアナロジーを考えるためには、包含写像や商写像の一般化を考えれば良い。

定義
$X$ を $\mathcal{C}$ の subobject とする。

$X\in$ の subobject とは、monomorphism $A\to X$ の $X$ 上の同型類のこと.

$X\in$ の quotient とは、epimorphism $X\to Q$ の $X$ 上の同型類のこと.

ここで、monomorphism $A\to X$ と $B\to X$ が $X$ 上同型であるとは、次の四角形が可換になるような同型 $\varphi:A\simeq B$ が存在すること：

$\begin{array}{ccc}A & \overset{\varphi}{\simeq} & B \\ \downarrow & {} & \downarrow \\ X & = & X\end{array}$

ただし、「同型類」という概念がきちんと意味を持つかどうかは問わないことにする。
epimorphism $X\to Q$ と $X\to P$ が $X$ 上で同型であることも、同様に定義する。

これらの定義は、モダンには次のように書ける。
$\mathcal{C}$ の射を、monomorphism, epimorphism のみにした部分圏をそれぞれ $\mathcal{C}_{+}, \mathcal{C}_{-}$ と書く（この表記は Reedy category の場合の真似で、多分一般的でない）。
$X\in\mathcal{C}$ に対して、圏 $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})=(\mathcal{C}_{+}\downarrow X)$ , $\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C})=(X\downarrow\mathcal{C}_{-})$ をそれぞれ slice category, coslice category によって定義する。
次の圏の同値に注意する：

$\displaystyle\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})\simeq\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C}^{\mathrm{op}})$

命題 1
圏 $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ , $\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C})$ の各 morphism set は、高々一点の集合である。

（証明）
上に挙げた同型より、 $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ について示せば十分である。
slice category としての定義より、 $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ の object は、 $A\in\mathcal{C}$ と monomorphism $i:A\to X$ の組 $(A,i)$ である。
また、射 $f:(A,i)\to (B,j)$ は、 $\mathcal{C}_{+}$ の射（すなわち monomorphism） $f:A\to B$ で $jf=i$ となるものである。
今、 $f,g:(A,i)\to(B,j)$ を $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ の射とする。
すると、 $jf=jg=i$ であるが、 $j$ は monomorphism なので $f=g$ を得る。
これが示すべきことであった。
（証明終わり）

一般に圏 $\mathcal{D}$ に対し、その同型類を $\pi_0\mathcal{D}$ と書く。
すると、subobject は $\pi_0\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ の元であるということができる。
quotient についても同様である。
上の命題より、これらはさらに豊かな構造を持つ。

系 2
subobject 全体のなすクラス $\pi_0\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ 及び quotient 全体のなすクラス $\pi_0\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C})$ には、自然に半順序構造が誘導される。

Strict morphisms

純粋な集合や加群では、包含写像や商写像は単なる単射、全射であり、理念としては上の定義でも良さそうである。
しかし、上の定義では少し弱いところがあり、例えば monomorphism かつ epimorphism であっても、同型とは限らない。
また、位相空間のことを思い出すと、単射が必ずしも埋め込み写像とは限らないことに注意する。
このような、「埋め込み」の概念も、圏での議論に一般化できる。
議論を簡単にするため、 $\mathcal{C}$ は pushout と pullback を持つ場合を考える。
この時、 $\mathcal{C}$ には equalizer, coequalizer が常に存在することに注意する。

定義
$\mathcal{C}$ は pushout, pullback を持つ圏とし、 $f:X\to Y$ を $\mathcal{C}$ の射とする。

$f$ が strict monomorphism であるとは、 $f$ がある $Y\overset{\to}{\to} Z$ の equalizer として書けることである。

$f$ が strict epimorphism であるとは、 $f$ がある $W\overset{\to}{\to} X$ の coequalizer として書けることである。

勿論 strict monomorphism は monomorphism であり、strict epimorphism は epimorphism である。

例

$\mathcal{C}=\mathbf{Set}$ の時、全ての単射、全射はそれぞれ strict monomorphism, strict epimorphism である。
$\mathcal{C}=\mathbf{Top}$ の時、 $f:X\to Y$ が strict monomorphism であることと、 $f$ が埋め込み写像であることと同値であり、 $f$ が埋め込みであれば、 $f$ は自然な全射 $Y\to Y/X$ と定値写像とのイコライザーである。
$\mathcal{C}=\mathbf{Top}$ の時、 $f:X\to Y$ が strict epimorphism であることと、 $f$ が商写像であることは同値である。
$\mathcal{C}=\mathbf{Group}$ の時、 $f:X\to Y$ が strict monomorphism であることと、 $f$ が正規部分群の埋め込みであることは同値である（kernel は常に正規部分群であることに注意）。
$\mathcal{C}=\mathbf{Group}$ の時、全ての全射は strict epimorphism である。これは、準同型定理により $\mathrm{im} \simeq \mathrm{coker}\ \mathrm{ker}$ が成立することによる。

これら例で挙げたように、strict monomorphism や strict epismorphism はそれぞれ包含写像、商写像と思って良い。
strict morphism によって、subobject, quotient のより強い概念が定義できる。

定義
$X\in\mathcal{C}$ とする。

$\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ において、 $(A,i)\in\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C})$ で $i:A\to X$ が strict monomorphism であるもの全体のなす full subcategory を $\mathrm{Sub}_0(X;\mathcal{C})$ と書く.

$\pi_0\mathrm{Sub}_0(X;\mathcal{C})$ の要素を strict subobject と呼ぶ.

$\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C})$ において、 $(Q,q)\in\mathrm{Quot}(X;\mathcal{C})$ で $q:X\to Q$ が strict epimorphism であるもの全体のなす full subcategory を $\mathrm{Quot}_0(X;\mathcal{C})$ と書く.

$\pi_0\mathrm{Quot}_0(X;\mathcal{C})$ の要素を strict quotient と呼ぶ.

定義からわかるように、圏同値 $\mathrm{Quot}_0(X;\mathcal{C})\simeq \mathrm{Sub}_0(X;\mathcal{C}^{\mathrm{op}})$ がある。
また、命題1より $\mathrm{Sub}(X;\mathcal{C}),\, \mathrm{Quot}_0(X;\mathcal{C})$ の morphism set も高々一点からなり、その同型類には順序構造が入る。

strict subobject, strict quotient は、ただの subobject, quotient よりも強い概念であり、集合論における「全射、単射」の類似がより良く成立する。
例えば、次が成立する。

命題 3
$f:X\to Y$ を $\mathcal{C}$ の射とすると、次は同値

$f$ は同型

$f$ は strict monomorphism かつ epimorphism

$f$ は monomorphism かつ strict epimorphism

（証明）
1⇔2 のみ示す（1⇔3 も同様）。
同型は $Y=Y$ の equalizer なので、1⇒2 は明らか。

今 $f$ は epimorphism であり、 $p,q:Y\to Z$ の equalizer であると仮定する。
定義より $pf=qf$ だが、 $f$ は epimorphism なので、 $p=q$ を得る。
同一射の equalizer は同型なので、 $f$ は同型である。
（証明終わり）

例

前の例に挙げたように、圏 $\mathbf{Set}$ , $\mathbf{Group}$ において、全ての全射は strict epimorphism である。従って、全ての全単射は同型である。
$\mathbf{Top}$ では、単射は必ずしも埋め込みではなく、全射は必ずしも商写像ではない。従って、同型ではない全単射が存在しうる。実際、二点以上の集合上に、離散位相と密着位相を入れて、それぞれ $X^{\circ},X_{\circ}$ とおくと、「恒等写像」 $X^{\circ}\to X_{\circ}$ は全単射だが同型ではないものの例である。