有界集合からの等距離膜：凸閉の場合

おなかがすいて何も考えられなくなったのでメモを残しとこう - junologyの日記で提示した命題の証明をする。
命題を再掲する（やや改変）。

命題1
$A\subset\mathbb{R}^n$ は、原点中心、半径 $r$ の $n$ 次元球 $B^n$ の内部に含まれるとする。
この時
$S_A = \left\{ x\in\mathbb{R}^n\,\mid\, d(x,A) = r \right\}$
は、 $n-1$ 次元球面 $S^{n-1}$ と同相である。

今回は特別な場合として、 $A$ が凸な閉集合である場合について証明する。

次の記事は既読と仮定します。
[1]集合からの距離の連続性 - junologyの日記
[2]ユークリッド空間の凸集合からの距離ネタ帳 - junologyの日記
凸閉集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ に対し、 $p_A$ は[2]で定めたものとし、また、次の記号を導入する。

[tex:B_r(A)=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,\mid\, d(x,A)
$\bar{B}_r(A)=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,\mid\, d(x,A)\le r\right\}$
$S_r(A)=\left\{x\in\mathbb{R}^n\,\mid\, d(x,A)=r\right\}$

特に、 $r=1$ の時には添字は省略する。
また、 $C\subset\mathbb{R}^n$ の閉包、開核、境界をそれぞれ $\mathrm{Cl}\,C,\,\mathrm{Int}\,C,\,\mathrm{Bd}\,C$ と書く。

$B,\bar{B},S$ の位相的関係

定義から、次のことが予想できる。

補題2
$A\subset\mathbb{R}^n$ をコンパクト凸集合とする時、任意の $r>0$ で次が成立。

$\bar{B}_r(A)$ はコンパクト凸集合

$\bar{B}_r(A)$ の内部、境界はそれぞれ、 $B_r(A)$ 、 $S_r(A)$

（証明：１）
[1]-命題1より $\bar{B}_r(A)$ は閉集合の連続写像による逆像なので、閉。
$A$ が有界ならば、 $\bar{B}_r(A)$ も有界。
よって、 $\bar{B}_r(A)$ は $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合なので、コンパクト。

$\bar{B}_r(A)$ が凸であることを示す。
[tex:x,y\in\bar{B}_r(A),\, 0 [tex:A]は凸なので、[tex:(1-t)p_A(x) + t p_A(y)\in A]であるが、
[tex:\left\| \left((1-t)x+ty\right)-\left((1-t)p_A(x)+tp_A(y)\right)\right\|\le (1-t)||x-p_A(x)||+t ||y-p_A(y)||\le r]
∴ [tex:(1-t)x+ty\in\bar{B}_r(A)]
よって、[tex:\bar{B}_r(A)]は凸

（証明：２）
[tex:B_r(A)]は[tex:\bar{B}_r(A)]に含まれる開集合なので、[tex:B_r(A)\subset\mathrm{Int}\,\bar{B}_r(A)].
逆に、[tex:x\in\mathrm{Int}\bar{B}_r(A)]とすると、十分小さな[tex:\varepsilon>0]に対して $B_{\varepsilon}(x)\subset\bar{B}_r(A)$ とできる。
今、 $t>0$ を十分小さく取って、 $y=-tp_A(x)+(1+t)x\in B_{\varepsilon}(x)$ であるようにする。
すると、[2]-命題4より、 $p_A(y)=p_A(x)$ であり、
$d(y,A)=\left\|y-p_A(y)\right\|=\left\|y-p_A(x)\right\|=(1+t)\left\|x-p_A(x)\right\|=(1+t)d(x,A)$
ところが、 $y\in\bar{B}_r(A)$ なので、 $d(y,A)\le r$ であり
$d(x,A)\le\frac{r}{1+t} < r$
$\therefore\, x\in B_r(A)$
よって、 $B_r(A)\supset\mathrm{Int}\,\bar{B}_r(A)$ であり、以上より $B_r(A)=\mathrm{Int}\,\bar{B}_r(A)$
また、 $\bar{B}_r(A)=B_r(A)\amalg S_r(A)$ なので、 $\bar{B}_r(A)$ が閉集合であることに注意して
$\mathrm{Bd}\,\bar{B}_r(A)=\bar{B}_r(A)\setminus\mathrm{Int}\,B_r(A)=S_r(A)$
（証明終）

当たり前に見えて、意外と面倒臭い。
特に、証明中に $\mathbb{R}^n$ がノルム空間だと仮定しているあたりが、イマイチ。
単純な距離構造だけでは証明できないのか？
凸の概念が線形構造を仮定するから、無理か。

命題1の証明：凸閉の場合

では、 $A\subset\mathbb{R}^n$ が有界凸閉集合の時について、命題1を示す。
補題1より、 $\bar{B}_r(A)$ は、開核が空でなく $S_r(A)$ を境界に持つ凸閉集合である。
そして、一般に次の命題が知られている。

命題3
$U\subset\mathbb{R}^n$ は凸開集合で、コンパクトな閉包を持つと仮定する。
この時、同相写像 $\varphi:\mathrm{Cl}(U)\to \bar{B}(0)$ で、 $\varphi(\mathrm{Bd}\,U)=S(0)$ であるものが存在する。

（証明）
平行移動によって、 $U$ は原点を含むとして良い。

まず、 $\varphi:\mathrm{Bd}\, U\to S(0)$ を次で定める。
$\varphi(u)=\frac{u}{||u||}$
$\varphi$ が全単射であることを示す。
任意の $v\in S(0)$ に対して、 $U$ が有界であることから
$u=\left(\sup\{t>0\,\mid\,tv\in u\}\right)v$
が存在し、 $u\in\mathrm{Bd}\, U$ であり、明らかに $\varphi(u)=v$ である。
よって[tex\varphi]は全射。
一方、 $\varphi(u)=\varphi(u')$ と仮定する。
もしも、 $u\neq u'$ ならば $||u||\neq ||u'||$ でなければならず、特に $||u||>||u'||$ と仮定して良い。
この時 $t=||u'||/||u||$ とおけば、[tex:0