圏論の言葉でしゃべりたい

集中講義行き損ねた。
かといって、勉強が進んだ訳ではないという。

昨日次のアイデアを思いついた。

命題
$\{f_{\alpha}:X_{\alpha}\to Y\}$ を ${\b Sets}$ の写像の族とする。
$Y$ の部分集合 $B\subset Y$ について、 $\textstyle B\subset \bigcup_{\alpha} f_{\alpha}(X_{\alpha})$ であるための必要十分条件は、包含写像 $i:B\to Y$ と任意の写像 $g,h:Y\to Z$ に対し、次が成立すること。
$g\circ f_{\alpha} = h\circ f_{\alpha}\,(\forall\alpha)\,\Rightarrow\,g\circ i = h\circ i$

（証明：必要性）
$\textstyle B\subset\bigcup_{\alpha} f_{\alpha}(X_{\alpha})$ を仮定し、 $g,h:Y\to Z$ は $g\circ f_{\alpha}=h\circ f_{\alpha}\,(\forall\alpha)$ であるような写像とする。
任意に $b\in B$ をとると、仮定よりある $\alpha$ で $b\in f_{\alpha}(X_{\alpha})$ なのだから、ある $x_{\alpha}\in X_{\alpha}$ によって、 $i(b)=b=f_{\alpha}(x_{\alpha})$ と書け、
$g(i(b))=g(f_{\alpha}(x_{\alpha}))=h(f_{\alpha}(x_{\alpha}))=h(i(b))$
よって、 $g\circ i=h\circ i$
（証明：十分性）
写像 $g,h:Y\to\{0,1\}$ を次で定める。
$g(y)=\begin{cases}1\,(y\in\bigcup_{\alpha}f_{\alpha}(X_{\alpha}))\\ 0\,(y\notin f(X))\end{cases}\qquad,\qquad\qquad h\equiv 1$
すると、 $g\circ f_{\alpha}=h\circ f_{\alpha}\equiv 1\,(\forall\alpha)$ なので、仮定から $g\circ i=h\circ i\equiv 1$ 。
これは、 $\textstyle B\subset\bigcup_{\alpha} f_{\alpha}(X_{\alpha})$ を意味する。
（証明終）