f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？

学部時代のノートがたまってたので、こっちにメモしなおし。

大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：

問
写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が、任意の $x,y\in\mathbb{R}$ について $f(x+y)=f(x)+f(y)$ であるとする。
この時、 $f$ は $\mathbb{R}-$ 線形写像か？

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ は $\mathbb{R}$ を加法群、つまり $\mathbb{Z}-$ 加群として見た時の準同型であることを意味している。
ここで、 $\mathbb{R}$ が $\mathbb{Z}-$ 加群として、divisible（日本語では「可除」か？）であるので、自然に $\mathbb{Q}-$ 加群と思うと、 $f$ が $\mathbb{Q}-$ 線形であることは直ちにわかる。
ところが、選択公理を知っている人がちょっと考えれば、これは $\mathbb{R}-$ 線形にはならないことがすぐにわかる。
それは、 $\mathbb{R}$ に $\mathbb{Q}-$ 線形空間としての基底、いわゆる Hamel 基底を入れれば確認できる。

この条件 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ は、wikipedia によると「Cauchy の関数等式」と呼ばれているらしい（Cauchy's functional equation - Wikipedia, the free encyclopedia）。

では、Cauchy の関数等式を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は、いつ $\mathbb{R}-$ 線形になるだろうか。
ε-δ式の議論とか、有理数が実数上稠密であることの位相的（あるいは解析的）意味を知っているならば、 $f$ に連続性を課せば良いことがすぐにわかる。
つまり、次が成立する：

命題1
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 $f$ が $\mathbb{R}-$ 線形であるための必要十分条件は、 $f$ が連続であること。

ところで、我々は、不連続な写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を沢山知っている。
ならば、是非とも問の反例を具体的に構成してみたくなる。
だが、その望みを打ち砕く命題が、[1]*1の§6の問題になっていた。

命題2
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 $f$ が連続であるための必要十分条件は、 $f$ が Lebesgue 可測であること。

（証明）
連続関数は Lebesgue 可測なので、十分性のみ示せば良い。
$f$ は Lebesgue 可測関数であると仮定する。
$\mu$ を $\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度とする。
正の実数 $\varepsilon>0$ に対して

$E_{\varepsilon}:=\left\{x\in\mathbb{R}\,\mid\,|f(x)|< \varepsilon\right\}$

とおく。
$f$ が Lebesgue 可測であるという仮定より、 $E_{\varepsilon}$ は Lebesgue 可測集合であることに注意する。

Claim 1: 全ての正数 $\varepsilon>0$ で $\mu(E_\varepsilon)>0$ である。
定義より明らかに、任意の自然数 $n\in\mathbb{N}$ について $E_n\subset E_{n+1}$ なので、次が成立する。

$\displaystyle\infty=\mu(\mathbb{R}) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mu(E_n) = \sup_{n\in\mathbb{N}}\mu(E_n)$

特に、ある番号 $N\in\mathbb{N}$ があって、 $\mu(E_N)>0$ である。
一方、 $f$ が $\mathbb{Q}-$ 線形であることに注意すると、有理数 $q\in\mathbb{Q}$ について

$E_{q\varepsilon} = \left\{x\in\mathbb{R}\,\mid\,|f(x)|< q\varepsilon\right\} = \left\{x\in\mathbb{R}\,m\mid\,|f(x/q)|< \varepsilon\right\} = q\cdot E_{\varepsilon}$
（ただし、 $q\cdot E_{\varepsilon}=\left\{qx\,\mid\,x\in E_{\varepsilon}$ とする）

が成立しており、Lebesgue測度の基本的な性質より、次が成立する。

$\displaystyle \mu(E_{q\varepsilon})=q\mu(E_{\varepsilon})$

特に、 $\frac{1}{n}< \varepsilon$ となるように、自然数 $n\in\mathbb{N}$ をとれば、 $E_{\frac{1}{n}}\subset E_{\varepsilon}$ なので、

$\displaystyle \mu(E_{\varepsilon}) \ge \mu\left(E_{\frac{1}{n}}\right) = \frac{1}{nN}\mu(E_N) > 0$

として、求める不等式を得る。
（Claim 1 の証明終わり）

Claim 2: 全ての正数 $\varepsilon>0$ で $E_{\varepsilon}$ は原点の近傍を含む。
$B_{\delta}=(-\delta,\delta)$ （開区間）と書くことにする。
背理法で示す。
$E_{\varepsilon}$ は原点を内点を含まないと仮定する。
つまり、任意の $\delta>0$ に対し、 $B_{\delta}\setminus E_{\varepsilon}\neq\emptyset$ であると仮定する。
この時、数列 $\{x_n\}$ を $x_n\in B_1\setminus E_{\varepsilon}$ で $|x_n| < \frac{1}{n}$ となるように選ぶことができる。
$x_n\notin E_{\varepsilon}$ なので、 $|f(x_n)| \ge \varepsilon$ であることに注意する。
$f$ は Cauchy の関数等式を満たすので、必要ならば $x_n$ の符号を適当に付け直して適当な有理数倍することで、

$\displaystyle\varepsilon\le f(x_n) < \left(1+\frac{1}{6n}\right)\varepsilon$

として良い。
このような数列 $\{x_n\}$ が矛盾を導くことを見る。
$y_n=3n x_n$ とおく。
すると、次が成立している。

$3n\varepsilon\le\displaystyle f(y_n) = 3nf(x_n) < \left(3n+\frac{1}{2}\right)\varepsilon$

今、次の集合を考える。

$E_{\varepsilon} + y_n:=\left\{e+y_n\,\mid\,e\in E_{\varepsilon}\right\}$

もしも $m\neq n$ ならば、 $(E_{\varepsilon}+y_m)\cap(E_{\varepsilon}+y_n)=\emptyset$ である。
実際、 $n>m$ として、 $e,e'\in E_{\varepsilon}$ に対し、 $f$ が Cauchy の関数等式を満たすことより

$e+y_m=e'+y_n$
$\Rightarrow (e-e')=(y_n-y_m)$
$\Rightarrow\, f(e)-f(e')=f(y_n)-f(y_m) > \left(3(n-m)-\frac{1}{2}\right)\varepsilon$

であるが、 $e,e'\in E_{\varepsilon}$ であることより、 $|f(e)-f(e')|\le 2\varepsilon$ でなければならない。
よって、 $e+y_m=e'+y_n\,\Rightarrow\,m=n$ が得られる。
今、Claim 1 より、 $N\in\mathbb{N}$ を $\mu(E_{\varepsilon}\cap B_N)>0$ となるように選ぶことができる。
$|y_n|=3n |x_n| < 3$ なので、

$(E_{\varepsilon}\cap B_N)+y_n \subset B_{N+3}$

以上より、Lebesgue 測度の性質に注意して、次の不等式が得られる。

$\displaystyle 2N+6 = \mu(B_{N+3}) \ge \mu\left(\coprod_{n=1}^{\infty} \left((E_{\varepsilon}\cap B_N)+y_n\right)\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_{\varepsilon}\cap B_N)$

これは、 $\mu(E_{\varepsilon}\cap B_N)>0$ に反しており、矛盾である。
（Claim 2 の証明終わり）

以上を用いて $f$ が連続であることをε-δ論法で示す。
任意に $x_0\in\mathbb{R}$ と $\varepsilon>0$ を取る。
Claim 2より、ある $\delta>0$ が取れて、 $B_{\delta}\subset E_{\varepsilon}$ とできる。
すると、 $|x-x_0|<\delta$ なる任意の実数 $x$ に対して、 $x-x_0\in E_\varepsilon$ なので、

$|f(x)-f(x_0)| = |f(x-x_0)| < \varepsilon$

が成立する。
よって、 $f$ は連続である。
（証明終わり）

ここから何がわかるかと言えば、冒頭の問の反例は、構成的には作れないということ。
というのも、命題1と命題2からわかるように、Cauchy の関数等式を満たすけれど $\mathbb{R}-$ 線形でない写像というのは、必然的に Lebesgue 不可測でなければならない。
ところが、我々が通常用いている ZF 集合論では、選択公理 AC を用いずには Lebesgue 不可測関数は構成できないことが知られている。

実はさらに、ZF＋(全ての $A\subset\mathbb{R}$ はLebesgue可測) は（ZFが無矛盾ならば）無矛盾であることまで知られている。
このような公理系においては、命題1と命題2は、冒頭の問に対する肯定的な証明を与えていることになる。
だから、冒頭の問は、正確には「ZF+ACのもとで」という文言を加えた方が良い（結論）。

*1:[1]松沢忠人, 原優, 小川吉彦「積分論と超関数論入門」,学術図書出版社 1996