順序と位相と完備の話 - junologyのブログ

一般には、順序で位相を定めたところで、自然に一様構造が定義できる訳ではないのかな？
順序のついた可換群にでもなってくれれば、当然の如くそこには一様構造が入る（ $\mathbb{Z}$ -位相加群になる）ので、大変都合が良いのですがね。

で、順序による位相とマッチした一様構造を仮定してしまえば、切断による完備化は可能なのではないかと予想。
まあ、順序から一様構造を構成する方法が思いつかないので、適当なことを言うようだけれども、少くとも、順序構造と代数構造がうまく同居している空間（ $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ とか）では、和の単位元の局所近傍系（勿論順序から定義できる）でフィルターがうまく定義できるから、それでなんとかできるのかなって思われるのですが...

あれ？
でも、解析概論って、切断の全体が完備であることの証明って、割と有理数の環構造も色々使っていたような気がしにゃいでもない。

それから、 $X$ は全順序で、順序によって位相が入っていて、また $X$ はそれ自身の中で、順序稠密だと仮定。
切断に必ず境界が存在 $\Leftrightarrow$ 連結、だよね？
なら、完備性と連結性って、なんか関係あるのかな。
例えば、 $\mathbb{Q}$ なんかは、完全不連結で完備でない、とか、離散位相空間は必ず完備とか？