ユークリッド空間上のsmooth isotopy類

あけましておめでとうございます。
本年も僕の戯言にお目溢し下さい。

新年早々、[Mil]*1の§6 Lemma 2の証明を補完してみるという、完全に自分のためだけの企画。

$M,N$ を多様体とする時、2つの $C^\infty$ 写像 $f,g:M\to N$ が、滑らかにホモトピックであるとは、 $C^\infty$ 写像 $H:I\times M\to N$ があって、次を満すこと。
$f(x)=H(0,x),\,g(x)=H(1,x)\quad\forall x\in M$
この $H:I\times M\to N$ を $f,g$ の間の滑らかなホモトピーという。
また特に、各 $t\in I$ に対し $M\ni x\mapsto H(t,x)\in N$ が微分同相写像である時、 $H$ を滑らかなアイソトピーと言い、 $f,g$ は滑らかにアイソトピックであるという。

「滑らかにホモトピー」「滑らかにアイソトピー」という関係は同値関係になる。
反射,対称律は明らかに成立し、ホモトピーのパラメータをその両端で任意階微係数が0になるように調節してやった上でつなぐことで、推移律も簡単に示せる。

本稿での目標は次の命題

命題

$f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を微分同相写像とする時、これらが滑らかにアイソトピックであるための必要十分条件は、点 $0$ におけるヤコビ行列式の符号が一致すること

（必要性の証明）
$H:I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を $f,g$ の間の滑らかなアイソトピーとする。
$t\in I$ に対して $H_t:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を $H_t(x)=H(t,x)$ で定める。
$H$ が滑らかであることから、この時、
$\phi:I\ni t\mapsto\mathrm{\det}(J_0H_t)\in\mathbb{R}$
は連続関数である。
ところが、各 $H_t$ は微分同相写像なので $\phi(t)\neq 0$ であり、よって $J_0f=\phi(0),\,J_0g=\phi(1)$ の符号は一致しなければならない。
（必要性の証明終）

十分性の証明には、いくらか準備を要する。
命題の仮定のもとで、 $h=g^{-1}\circ f$ とおく。
$h$ のヤコビ行列式の符号は仮定より正、すなわち恒等写像のヤコビ行列式の符号と一致しており、もしも $h$ と恒等写像の間の滑らかなアイソトピー $H:I\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ が存在すれば、 $g\circ H$ は $f,g$ のあいだの滑らかなアイソトピーである。
従って、 $f$ のヤコビ行列式の符号は正、 $g$ は恒等写像として命題を示せば十分であることがわかる。
また、平行移動は明らかに恒等写像と滑らかにアイソトピックで、ヤコビ行列式を変更しないので、 $f(0)=0$ と仮定しても良い。

次の補題1は[Mil]からのまる写しに近い。

補題1

$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ を微分同相写像で、 $f(0)=0$ とする。
この時 $f$ は、0におけるヤコビ行列 $J_0 f$ の表わす線型写像に滑らかにアイソトピックである

（証明）
$H:I\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を次で定める。
[tex:H(t,x)=f(tx)/t\,(0

補題2

$A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ は $\mathrm{\det}A>0$ であると仮定する。
すると、滑らかな写像 $F:I\to\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ が存在し、 $F(0)=E_n,\,F(1)=A$ とできる。
すなわち、 $A$ は恒等写像に滑らかにアイソトピックである。

（証明）
$n$ に関する数学的帰納法で示す。
$n=1$ の時、 $A\in\mathbb{R}$ と思えば、仮定は $A>0$ を意味するので、
$F(t)=1+t(A-1)$
とすれば、これは求める滑らかな写像である。

$n\ge 2$ で、 $n$ より下の次元で補題2が成立していたと仮定する。
$A=(a_{ij})$ とする。
この時、 $a_{11}=1$ として良い。
実際、必要ならば
$\begin{pmatrix}\cos(\pi t)&-\sin(\pi t)&0&\cdots&0\\ \sin(\pi t)&\cos(\pi t)&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}A$
を考えることで $a_{11}>0$ として良く、この時、
$\begin{pmatrix}1+t(a_{11}^{-1}-1)&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}A$
によって、結局1行1列成分が1の行列へ滑らかな道を構成することができる。
さらに、 $a_{11}=1$ ならば
$G(t)=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\-ta_{21}&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-ta_{n1}&0&\cdots&1\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1&-ta_{12}&\cdots&-ta_{1n}\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$
によって、結局 $A$ は次の形の行列と滑らかにアイソトピックである。
$\begin{pmatrix}1&0\\0&A'\end{pmatrix}\qquad A'\in\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{R})$
帰納法の仮定より、 $A'$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ 上の恒等写像と滑らかにアイソトピックだったので、滑らかなアイソトピーの推移性より、結局 $A$ は恒等写像と滑らかにアイソトピックである。
（証明終）

補題1と補題2によって、命題の十分性は示されたことになる。

いやしかし、[Mil]を読んでいて、徐々に「滑らか」ということに対して嫌悪感を抱いてきたよ。
連続なら良いじゃん、と。
もっとも、連続可微分くらいでないと局所性質の特徴付けが難しいし、また、コンパクト領域上では、滑らかな関数による連続関数の一様近似ができるから、滑らかな場合の考察が一般化できるということも[Mil]を読んで改めて気付かされたことなので、滑らかという場合が重要であるということには同意するけれども。
しかし、滑らかということは利用するのは便利だけれども、逆に滑らかであることを示すには、時に本質的でない議論をしないといけないことがある。
例えば、ベクトル場のlocal flowの存在なんかは、完全に初等微分方程式論の範疇の問題だよね。
特にその初期値問題のsmooth dependencyの証明とか、2度とやりたくない。

とか、我侭を言う背景には、多変数関数の微積分の勉強をサボってきた僕の怠慢がある。
今からでも勉強しようとは、あまり思わないのだけれど...

*1:[Mil] J.Milnor, Topology from the Diferrensiable Viewpoint, 1965 Princeton University Press