コンパクト距離空間の親玉

今セミナーやっていて度々記事に出てくる[St]*1に、またしても未知なる面白いことが書いてあったので、メモ。

以下では $I=[0,1]$ を単位区間とし、 $I^{\mathbb{N}}$ には $I$ の通常の位相による直積位相を入れるものとする。
各 $I$ は通常の距離によって距離空間だと思え、従って、 $I^{\mathbb{N}}$ は距離化可能空間である。

さて、目標は次の命題

命題

任意のコンパクト距離空間 $(Y,d)$ に対して、同相写像 $\phi:Y\to \phi(Y)\subset I^{\mathbb{N}}$ がある。

この証明のため、基本的な補題を一つ用意。

補題

コンパクト距離空間は可分

(証明）
$(Y,d)$ をコンパクト距離空間とする。
$Y$ はコンパクトであることから、各自然数 $n\in\mathbb{N}$ に対して、有限集合 $A_n\subset Y$ が存在し、
$Y=\bigcup_{a\in A_n} B(\frac{1}{n},a)$
とできる。
$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$
とおく。
明らかに $A$ は可算集合であるが、さらに $Y$ 上稠密である。
実際、任意の $y\in Y$ と $\varepsilon>0$ に対し、 $n\in\mathbb{N}$ を $n>1/\varepsilon$ であるように取れば、
$y\in\bigcup_{a\in A_n} B(\frac{1}{n},a)$
なので、 $a\in A_n$ が存在し $d(y,a)<1/n<\varepsilon$ 、すなわち $a\in B(y,\varepsilon)$ である。
よって、このような $A\subset Y$ の存在により $Y$ は可分。
（証明終）

（命題の証明）
点列 $\{y_n\}\subset Y$ を $Y$ 上稠密であるように取る。
$Y$ がコンパクトであることから、 $M_n=\sup_{y\in Y}d(y_n,y)<\finty$ が存在する。
ここで、
$\phi_n:Y\ni y\mapsto \frac{d(y_n,y)}{M_n}\in I$
$\phi:Y\ni y\mapsto \left(\phi_n(y)\right)_{n=1}^{\infty}\in \phi(Y)\subset I^{\mathbb{N}}$
とおく。

定義から明らかに $\phi$ は連続である。
さらに、 $\phi$ は単射である。
実際、 $d(y,y')=r>0$ ならば、 $\{y_n\}$ の稠密性より、 $n\in\mathbb{N}$ があって、[tex:d(y_n,y) [tex:d(y',y_n)\ge d(y,y')-d(y_n,y)>r/2>d(y_n,y)]
従って $\phi_n(y)\neq\phi_n(y')$ であり、 $\phi(y)\neq\phi(y')$ が得られる。

仮定から $Y$ はコンパクトであり、 $I^{\mathbb{N}}$ はHausdorffであるから $\phi(Y)$ もHausdorffである。
従って、 $\phi$ はコンパクト空間からHausdorff空間への連続な全単射であるから、同相写像である。
よって、 $\phi$ が求める写像である。
（証明終）

つまり、任意のコンパクト距離空間は、単位区間上の点列の全体に、各点収束の位相を入れたものの部分空間だと思える訳ね。
ちょっとすごいと思った。
ただ惜しいのは、 $I^{\mathbb{N}}$ がコンパクトではないこと。
可分ではあるのだけれどね。
実際
$(I\cap\mathbb{Q})^{\bigoplus\mathbb{N}}$
は $I^{\mathbb{N}}$ 中に稠密にある。

それから、議論の最後でコンパクト空間からHausdorff空間への連続写像は閉写像であるという事実を使っているので、「コンパクト」の仮定ははずせない。
実際、 $2^{\mathbb{R}}$ に離散位相を入れたものは距離空間だけれど、勿論（濃度の比較から) $I^{\mathbb{N}}$ への同相な埋め込みなんて存在しない。

*1:[St] Steenrod, N., "The Topology of Fibre Bundles", Princeton University Press, 1951