素数の平方根を付け加える話

引き続き学部時代のメモ放出。
体論の演習で話題になった命題を証明したやつ。

命題
$a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{N}$ は、全て互いの素な2以上の自然数で、各 $a_i$ は平方因子を持たないとする。
この時、 $\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\dots,\sqrt{a_n})/\mathbb{Q}$ は $2^n$ 次拡大である。

（証明）
$n$ に関する数学的帰納法で示す。
$n=1$ の時は、 $a_1$ が平方因子を持たないという仮定から明らかである。
今 $n \le k$ について命題が真であったと仮定し、 $n=k+1$ の時に命題が成立することを示す。
そのためには、 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\dots,\sqrt{a_k})$ とおいて、 $L(\sqrt{a_{k+1}})/L$ が2次拡大であること、すなわち $\sqrt{a_{k+1}}\notin L$ であることを示せば良い。
$\sqrt{a_{k+1}}\in L$ と仮定して矛盾を導く。
$L'=\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\dots,\sqrt{a_{k-1}})$ とおく（従って、 $L=L'(\sqrt{a_k})$ である）。
帰納法の仮定より、 $\sqrt{a_{k+1}}\notin L'$ であるから、 $\sqrt{a_{k+1}}\in L$ ならば、ある $\alpha,\beta\in L'$ によって、

$\sqrt{a_{k+1}} = \alpha + \beta\sqrt{a_k}$

と書ける。
これより、次式が得られる。

$a_{k+1} + \alpha^2 - 2\alpha\sqrt{a_{k+1}} - \beta^2a_k = 0$

$\sqrt{a_{k+1}}\notin L'$ より、 $\{1,\sqrt{a_{k+1}}\}$ は $L'$ 上線形独立なので、上式が成立するためには、特に $\alpha=0$ でなければならず、よって $\sqrt{a_{k+1}}=\beta\sqrt{a_k}$ である。
従って $\sqrt{a_ka_{k+1}}=\beta a_k\in L'$ .
ところが、 $a_1,\,\dots\,,\,a_{k-1},\,a_ka_{k+1}$ は、命題の仮定を満たすので、これは帰納法の仮定に反する。
（証明終わり）