超関数の収束とδ関数の表式

インフルエンザに罹ってしまった。
昨日まで、心身ともにほとんど布団から動けなかった。
ようやく思考できるようになったので、先週の記事で書き損なった（完全に忘れてた）、超関数の収束の話と、おまけにLebesgue積分論の試験で解けなかった問題を悔しいので2度と忘れまいとメモ。

超関数の収束の話

超関数の空間 $\mathcal{D}'$ には、奇をてらわずに、各点収束の位相、
すなわち $\mathcal{D}'\subset \mathbb{R}^{\mathcal{D}}$ なる包含が誘導する位相を入れる。

$\mathcal{D}'$ の完備性の証明の前に、まず、Frechet空間の双対空間は各点収束の位相で完備になることを示す。

さらにその前に、Frechet空間における有界性の定義って、先週言及してなかった気がする。
Banach空間と違って、Frechet空間には自然な距離構造が入る訳ではないし、その上、例えば先週定めたものにしても、線形構造と相性が悪い。
そこで、次のように定義してみる。

定義

$X$ を位相線形空間とする。
$E\subset X$ が有界であるとは、任意の原点の近傍 $V$ に対して正数 $r>0$ が存在し、 $E\subset r V$ とできること。

$X$ がBanach空間だったら、上の定義は距離空間としての有界の意味と一致する。

また、 $E\subset X$ が「有界である」という性質は、拡大/縮小や平行移動に関して不変。

もしかしたら先週暗黙のうちに使っていたかもしれないけれど、 $X,Y$ が位相線形空間である時、線形作用素 $T:X\to Y$ が連続であるための必要十分条件は、 $T$ が任意の有界集合を有界集合へ写すこと。
なので、連続な線形作用素のことを有界線形作用素と呼びます。

さて、これでようやくFrechet空間の完備性の証明に入れる。

補題1（Baireのカテゴリー定理）

$X$ を完備距離空間とし、 $\{F_n\}_{n=0}^{\infty}$ を $X$ の閉被覆とする。
この時、少くとも一つの $n\in\mathbb{N}$ について、 $F_n$ は内点を持つ。

（証明）
各 $F_n$ が内点を持たないと仮定してする。
まず、 $F_0\neq X$ なので $x_0\in X\setminus F_0$ と $r_0>0$ があって、
$B(x_0;r_0)\cap F_0=\emptyset$
であるようにできる。
一般に $n\ge 1$ に対して、 $F_n$ は内点を持たない閉集合なので、 $x_n\in B(x_{n-1},r_{n-1})\setminus F_n$ と $r_n>0$ があって、次をみたすようにできる。
$B(x_n;r_n)\cap F_0=\emptyset$
[tex:2r_n

命題2

$X$ をFrechet空間、 $T_n:X\to \mathbb{R}$ を有界線形作用素とし、各点 $x\in X$ で、 $\{T_n x\}$ は $\mathbb{R}$ 上収束するものとする。
この時、
$T:X\ni x\mapsto \lim_{n\to\infty}T_n x\in \mathbb{R}$
とおけば、 $T$ は有界。

（証明）
$F_n=\bigcap_{k=0}^{\infty}T_k^{-1}\left([-n,n]\right)$
とおくと、各 $T_n$ が有界（従って連続）であることから $F_n$ は閉集合で、また $\{T_n x\}$ が収束列であることから、 $\{F_n\}$ は $X$ を被覆する。
$X$ はFrechet空間なので完備距離空間であり、従って補題1から、 $n\in\mathbb{N}$ があり、 $a\in F_n$ と、ある原点の近傍 $V$ について、 $(a+V)\subset F_n$ であるようにできる。

$T$ が有界であることを示す。
任意の有界集合 $E$ を取る。
$E$ の有界性から $r>0$ があって、 $E\subset rV$ とできる。
すると、 $a+E/r\subset a+V\subset F_n$ より
$TE\subset r(-Ta+TF_n)\subset r(-Ta+[-n,n])$
として、 $TE$ は $\mathbb{R}$ 上有界である。
（証明終）

命題2から、Frechet空間の双対空間に各点収束の位相を入れると、完備であることがわかった。
さて、それでは本題だけれど、Frechet空間の帰納極限に各点収束の位相を入れると完備か？
しかし、先週の結果（証明はしてないけど）から、 $X$ を単調増加なFrechet空間列 $\{X_n\}$ の帰納極限とする時、 $T:X\to\mathbb{R}$ が有界であることと、各 $T|_{X_n}$ が有界であることは同値であることはわかっているので、結局命題2は、Frechet空間の帰納極限についても、証明を終わらせてしまっていたのでした。

よって、 $\mathcal{D}'$ は完備。
めでたしめでたし。

そして、先週の試験で解けなかった問題

問

$\mathbb{R}^N$ 上の超関数の意味で
$\lim_{t\to +0}(4\pi t)^{-N/2}\exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right)=\delta$
であることを示せ。
ただし、右辺はDiracのδ関数。

今思えば難しくは無いし、試験を受験当時の自分にしてみても、解けないことはないと思うのだけれど。

悔しいから、もう少し一般に次の命題を示す。
負け惜しみだけれど、多分次の形で出題されてたら、解けてた。

命題3

$f\in C(\mathbb{R}^N)\cap L^1(\mathbb{R}^N)$ は非負であり、
$\int_{\mathbb{R}^N}f \,dx = 1$
を満たすとする。
$\varepsilon>0$ に対し、
$f_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-N}f(x/\varepsilon)$
とおくと、 $\mathbb{R}^N$ 上の超関数の意味で
$\lim_{\varepsilon\to +0}f_{\varepsilon}=\delta$

（証明）
任意の $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ に対して、
$\lim_{\varepsilon\to +0}\varepsilon^{-N}\int_{\mathbb{R}^N}f(x/\varepsilon)\phi(x) dx-\phi(0)=0$
が示せれば良い。
$f$ に対する仮定と $f_{\varepsilon}$ の定義より、
$\varepsilon^{-N}\int_{\mathbb{R}^N}f(x/\varepsilon)\phi(x) dx - \phi(0)=\varepsilon^{-N}\int_{\mathbb{R}^N}f(x/\varepsilon)\left(\phi(x)-\phi(0)\right) dx$
であり、 $x=\varepsilon u$ とすれば、測度について $dx=\varepsilon^N du$ なので、上式はさらに
$\int_{\mathbb{R}^N}f(u)\left(\phi(\varepsilon u)-\phi(0)\right) du$
に等しい。
ここで、
$f(u)\left(\phi(\varepsilon u)-\phi(0)\right)\le 2\left(\sup |\phi|\right)f(u)$
で、 $f\in L^1(\mathbb{R}^N)$ なので、Lebesgueの収束定理から
$\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{\mathbb{R}^N}f(u)\left(\phi(\varepsilon u)-\phi(0)\right) du=\int_{\mathbb{R}^N}\lim_{\varepsilon\to +0} f(u)\left(\phi(\varepsilon u)-\phi(0)\right)du=0$
以上より、求める結果が得られた。
(証明終）

問については、
$f(x)=\pi^{-N/2}\exp(-|x|^2)$
$\varepsilon=2\sqrt{t}$
とでもおけば良いね。

変にLebesgue積分を意識しすぎたのが敗因...orz